Расчетно-графическая работа по высшей математике
1. Описание изделия
На рисунке 1 изображено в трех проекциях изделие - поверхность, состоящая из одного куска цилиндрической и двух кусков конической поверхностей (КоКоЦ).
Дополнительные сведения:
раствор конуса b = 30 0
радиус цилиндра R = 5 см
расстояние от оси конуса до оси цилиндра l =2 см
расстояние между осью цилиндра и вершиной каждого из конусов L = 6 см
- Выбор системы координат
В качестве начала координат возьмем точку пересечения осей конусов. Ось абсцисс пустим вдоль оси первого конуса, ось ординат - вдоль оси второго конуса, ось аппликат - параллельно оси цилиндра, причем так, чтобы система координат была правой.
Расстояние d от вершин конусов до начала координат находим с помощью Теоремы Пифагора:2
+ l = + 2 = 7.7 (см)
таким образом ось цилиндра описывается следующим уравнением:
Вершина первого конуса имеет следующие координаты - (-7.7; 0; 0), вершина второго конуса - (0; -7.7; 0).
- Аналитическое описание несущих поверхностей
Уравнение цилиндрической поверхности:
(х+2) 2 +(y+2) 2 = R 2 ( I )
Параметризация цилиндрической поверхности:
(II)
Определение положения шва на цилиндрической детали:
потребуем, чтобы параметр u Î . При этих значениях u шов наиболее удален от конусов и описывается двойным уравнением x = y = - l - .
Уравнение первой конической поверхности:
(x + 7.7) 2 tg 2 b = y 2 + z 2 (III)
Параметризация первой конической поверхности:
(IV)
Определение положения шва на первой конической детали:
потребуем, чтобы j Î [- p sin b ; p sin b ]
Тогда шов будет наиболее удален от второго конуса.
Уравнение второй конической поверхности:
(y+7.7) 2 tg 2 b =x 2 +z 2 (V)
Параметризация второй конической поверхности аналогично первой (IV) :
(VI)
(Также можно обойтись и без нее за счет использования симметрии).
- Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке цилиндра
Подставим параметризацию цилиндра (II) в уравнение первого конуса (III) , получаем уравнение:
(-2+Rcos +7.7) 2 tg 2 b =(-2+Rsin ) 2 +v 2 , которое в дальнейшем преобразуется к виду:
v = v(u) = ± (VII)
Знак “ + ” соответствует “верхней” половине линий отреза, Z ³ 0 , знак “ - ” - “нижней” половине этой линии. При некоторых значениях параметра u подкоренное выражение отрицательно, что соответствует отсутствию пересечения образующей цилиндра с первым конусом.
- Описание линии пересечения цилиндра и второго конуса на выкройке цилиндра
Линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить только при u . Отражая эту линию симметрично относительно прямой u = , получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом.
- Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке конуса
Подставляя параметризацию первого конуса (IV) в уравнение цилиндра (I) , получаем уравнение:
(-7.7+ r cos b +2) 2 + ( r sin b cos +2) 2 = R 2
преобразуем:
( r cos b -5.7) 2 + ( r sin b cos +2) 2 = R 2
r 2 cos 2 b -2*5.7* r cos b +32.49+ r 2 sin 2 b cos 2 +4 r sin b cos +4-R 2 = 0
r 2 (cos2 b +sin 2 b cos 2 )+2 r (-5.7cos b +2 sin b cos )+36.49-R 2 = 0
Отсюда
r = r ( j )= (IX)
a( j )=1- sin 2 b sin 2 ;
b( j )=2(2sin b cos -5.7cos b );
c=36.49-R 2 .
Линия пересечения симметрична относительно луча j =0; ветвь, соответствующая знаку “ - ” в формуле (IX) , посторонняя.
- Описание линии пересечения конусов на выкройке первого конуса
Подставляя параметризацию первого конуса (IX) , в уравнение второго конуса (V) , получаем уравнение:
( r sin b cos +7.7) 2 tg 2 b =(-7.7+ r cos b )2+ r 2 sin 2 b sin 2 квадратное уравнение относительно переменной r .
После упрощения получим:
r 2 (sin 2 b cos 2 tg 2 b - cos 2 b -sin 2 b sin 2 )+ r (2d(sin b cos tg 2 b +cos b ))+d 2 (tg 2 b -1)=0
r = , (X)
где а = sin 2 b cos 2 tg 2 b - cos 2 b - sin 2 b sin 2 ;
b = d(sin b cos tg 2 b +cos b );
c = d 2 (tg 2 b -1).
- Выкройка второго конуса
Она идентична выкройке первого конуса.
- Расчет выкройки цилиндрической детали
Подставляем в формулу (VII) конкретные числовые данные и рассчитываем несколько точек (u, v). Результаты отчета заносим в таблицу 1.
Строим выкройку цилиндрической детали, учитывая, что линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить симметрично относительно прямой u £ ; отражая эту линию пересечения относительно прямой u= , получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом. Полувысоту цилиндра примем равной 8 см.
- Расчет выкройки конических деталей
Произведем расчет по формулам ( j ; r ) по формулам (IX, X) . Результаты расчетов заносим в таблицы 2 и 3.
Возьмем сектор радиуса r 0 =26см., и, учитывая симметричность относительно луча j =0, построим выкройку конической детали.
- Изготовление выкроек деталей, сборка изделия
Изготовим выкройки деталей с припусками на соединение их в изделие, учитывая предыдущее описание. Вырежем и склеим.