Геометрия Лобачевского
Лобачевский по существу берет за отправной пункт все то, что Евклид доказал без помощи 5-го постулата. Все эти предположения являются общими как для геометрии Евклида, так и для геометрии Лобачевского.
Таким образом, все предложения абсолютной геометрии сохраняют свою силу и в геометрии Лобачевского. Абсолютная геометрия есть общая часть и общий фундамент евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского.
В первом случае мы получим геометрию Евклида, во втором случае –
Геометрию Лобачевского. Отсюда ясно, что все сходное в геометриях Евклида и Лобачевского имеет свои основания в абсолютной Геометрии, а все то, что различно в них, коренится в различии аксиом параллельности.
Укажем ряд важнейших планиметрических теорем, относящихся к абсолютной геометрии.
- Каждый отрезок и каждый угол можно единственным образом разделить пополам.
- Через каждую точку можно провести единственный перпендикуляр к данной прямой.
- Сумма двух смежных углов равна 2d.
- Все прямые углы равны между собой.
- Вертикальные углы равны.
- В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой, углы при основании равны.
- Перпендикуляр короче наклонной. Известные теоремы о сравнении перпендикуляров, наклонных и их проекций.
- Внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного.
- Во всяком треугольнике не может быть более одного прямого или тупого угла.
- В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно.
- В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
- Сумма двух сторон треугольника больше третьей.
- Три признака равенства треугольников.
- Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, или внутренние накркст лежащие углы равны, или сумма внутренних односторонних углов равна 2d, то данные прямые не пересекаются.
- Два перпендикуляра к третьей прямой не пересекаются.
- Через точку, лежащую вне прямой, в плоскости, ими определяемой, проходит по крайней мере одна прямая, не пересекающая данной.
- Сумма углов треугольника не более 2d(11-я теорема Лежандра).
- Если в плоскости две точки лежат по разные стороны прямой, то отрезок, их соединяющий, пересекает данную прямую.
- Если луч проходит через вершину треугольника внутрь его, то он пересекает противоположную сторону треугольника.
- Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, лежащей внутри треугольника.
- В треугольник можно вписать единственную окружность.
- Прямая пересекает окружность не более чем в двух точках.
- Равные дуги окружности стягиваются равными хордами, и обратно.
- Если выбрать единичный отрезок, то всякому отрезку можно поставить в соответствие единственное положительное число, называемое длинной отрезка, и, обратно, каждому положительному числу можно поставить в соответствие некоторый отрезок, длина которого выражается этим числом.
- Если все внутренние лучи, выходящие из вершины угла АОВ, а так же сторона АО и ОВ разбить на два класса так, что 1) каждый луч принадлежит одному и только одному из этих классов, луч АО принадлежит первому классу, а луч ОВ – ко второму, 2) каждый луч первого класса лежит между ОА и любым лучом второго класса, то существует один и только один луч l, пограничный между лучами обоих классов, причем сам луч l принадлежит либо первому, либо второму классу.
- Если выбрать некоторый угол в качестве единицы измерения, то каждому углу можно поставить соответствие единственное число, называемое мерой или величиной угла.
Исходным пунктом геометрии Лобачевского является принятие всех предложений геометрии Евклида, не зависящих от 5-го постулата (т.е. абсолютной геометрии, включая аксиомы Паша, Архимеда, Дедекинда), и присоединение к ним взамен отброшенного 5-го постулата следующая аксиома, противоположный аксиоме Плейфера, а значит, и 5-му постулату.
Через точку, лежащую вне прямой плоскости, определяемой ими, можно провести не менее 2-х прямых, не пересекающих данной прямой.
Эта аксиома утверждает существование, по крайней мере 2-х таких прямых.Отсюда следует, что таких прямых существует бесконечное множество.
Очевидно, что все прямые, проходящие через точку М внутри вертикальных углов a и b , образованных прямыми b и c также не пересекают а , а таких прямых бесконечное множество.
Плоскость (или пространство), в которой предполагается выполнение аксиомы Лобачевского, называется плоскостью (или пространством) Лобачевского.
Перейдём непосредственно к параллельным Лобачевского.
Две граничные прямые СС’ и DD’ называются параллельными прямой ВВ’ в точке А, причём прямая С’С называется параллельной В’В в направлении В’В, а прямая D’D называется параллельной прямой ВВ’ в направление ВВ’. Острый угол a , образуемый параллельными с перпендикуляром АР, называется углом параллельности в точке А относительно прямой BB’. Этот угол, есть функция длины р перпендикуляра АР и обозначается так: a =П (р). АР называются отрезком параллельности в точке А относительно прямой BB’.
Все прямые пучка не пересекающие BB’ и лежащие внутри заштрихованных вертикальных углов, называются расходящимися с BB’ или сверх параллельными к BB’; угол, образуемый такой прямой с перпендикуляром АР с обеих от него сторон, больше угла параллельности a .
Наконец , все остальные прямые пучка, образующие с АР с какой-либо стороны острый угол, меньше угла параллельности a , называются пересекающими прямую BB’ или сходящимися с BB’ .
Необходимо обратить внимание , что геометрия Лобачевского при указание, то прямая СС’ параллельно прямой BB’, является совершенно обязательным также указывать, во-первых, в каком направление CC’ параллельно BB’, во-вторых, в какой точке , ибо у нас пока нет уверенности в том , что если мы на прямой CC’ возьмём какую-нибудь точку М , отличную от А , то и по отношению к пучку прямых с центра в точке М прямая СС’ будет граничной прямой.
Определение. Прямая С’C называется параллельной прямой в направление B’B в точке А, если , во-первых, прямая С’C не пересекает прямой BB’, во-вторых , C’C является граничной в пучке прямых с центром в точке А, т. е. всякий луч АЕ, проходящий внутри угла CAD, где D-любая точка прямой BB’, пересекает луч DB.
Условимся в целях краткости и удобства обозначать параллельность прямой АА’ к BB’в направление B’B символом AA’ ê ê B’B, где порядок букв указывает направление параллельности. На чертеже направление параллельности указывается стрелками.
Т еорема1. Если прямая ВВ’ ê ê АА' в точке М, то ВВ' ê ê АА' в любой своей точке N.
Теорема 2 . Если ВВ' ê ê АА', то и обратно: АА' ê ê ВВ'.
Теорема 3. Если АА' ê ê СС' и ВВ' ê ê СС', то АА' ê ê ВВ'.
Теорема 4 . Если прямая CC’ лежит между двумя прямыми АА’ и BB’, параллельными в некотором направление, не пересекая их, то CC’параллельна обеим этим прямым в том же направлении.
Теорема 5. Если две прямые при пересечении с третьей образуют равные соответственные углы, или внутренние односторонние углы, в сумме составляющие 2d, то эти прямые расходятся.
Задача 902.(Сборник задач - Атанасян, ч.2) Пусть (U 1 V 1 ) ê ê (U 2 V 2 ). Доказать, что если прямая (UV) лежит между (U 1 V 1 ) и (U 2 V 2 ) и не пересекает одну из них, то она параллельна данным.
Действительно, отрезок U 1 U 2, соединяющий любые точки U 1 и U 2 параллельных прямых U 2 V 2 и U 1 V 1 , пересечет UV в некоторой точке U, ибо UV по условию лежит между U 2 V 2 и U 1 V 1 (теорема 1.18).
В силу параллельности U 2 V 2 и U 1 V 1 любой луч U 2 E , проходящий внутри угла V 2 U 2 U 1 , пересечёт U 1 V 1 , а значит, и UV. Следовательно, U 2 V 2 ê ê UV. Пользуясь теоремами 2 и 3 , легко убедиться, что U 1 V 1 ê ê UV.
Интересно отметить, что в геометрии Лобачевского прямая может пересечь две параллельные, не пересекая третьей. Действительно, например, любая прямая EF, расходящаяся с АА’, пересекает СС’и BB’, не пересекая АА’.